fi
Финансовые инвестиции
образовательный центр
✉ Контакты

Паритет опционов пут и колл

Определение

Пут-колл паритет (англ. Put-Call Parity) – это соотношение, которое существует между ценами на опцион пут и опцион колл европейского стиля c одинаковым количеством базового актива, ценой исполнения (англ. Strike Price) и датой экспирации (англ. Expiration Date). Паритет иллюстрирует принципы арбитража, которые дают возможность создать синтетическую позицию из опционов пут и колл, которая является эквивалентной позиции по базовому активу.c

Важно! Для опционов американского стиля пут-колл паритет не выполняется, поскольку их исполнение возможно в любой момент времени до наступления даты экспирации.

Исходные положения

Возможность заключения форвардных контрактов на базовый актив является необходимым условием для выполнения пут-колл паритета. Кроме того, концепция предполагает обязательное соблюдение следующих исходных положений:

Важно! При отсутствии возможности заключения форвардных контрактов пут-колл паритет может выполняться, если будут соблюдаться следующие дополнительные условия:

График

Концепция пут-колл паритета устанавливает зависимость между стоимостью опциона пут, опциона колл и базового актива. Ее основным утверждением является то, что при условии соблюдения перечисленных выше исходных положений, синтетическая позиция, состоящая из длинного опциона колл и короткого опциона пут, эквивалентна длинной позиции по базовому активу, которая открыта по цене исполнения опционов.

* Длинный колл – покупка опциона колл, короткий пут – продажа опциона пут.

Другими словами, стоимость портфеля будет одинакова независимо от того, выберет ли он синтетическую позицию из двух опционов, или же купит базовый актив.

Графическая интерпретация этой концепции проиллюстрирована на рисунке ниже.

Пут-колл паритет

Рис. 1 – Графическая интерпретация пут-колл паритета

Формула

Чтобы лучше разобраться в концепции пут-колл паритета, рассмотрим ее выполнение на примере двух портфелей.

  1. Портфель А: длинный опцион колл и наличные в сумме, необходимой для покупки базового актива по цене исполнения.
  2. Портфель Б: длинный опцион пут и базовый актив в количестве, необходимом для исполнения опциона.

Предположим, что в качестве базового актива выступает 100 акций NIKE, Inc., а страйк для обоих опционов составляет $85.

Важно! Какой бы ни была спотовая цена акций на дату экспирации, стоимость обеих портфелей будет одинаковой.

Чтобы убедиться в этом, давайте рассмотрим два сценария.

  1. Спотовая цена акций на дату экспирации составит $78.
  2. Спотовая цена акций на дату экспирации составит $103.

При реализации первого сценария опцион колл из Портфеля А окажется «вне денег», поскольку спотовая цена ниже страйка. Следовательно стоимость Портфеля А будет определяться только суммой наличных, необходимых для покупки акций по цене $85, а именно $8 500 ($85 × 100). Опцион пут из Портфеля Б, напротив, окажется «в деньгах» и сумма выплаты по нему составит $700.

($85 - $78) × 100 = $700

При этом стоимость 100 акций из Портфеля Б на дату экспирации составит $7 800 ($78 × 100), а его суммарная стоимость $8 500 ($700 + $7 800). Как мы можем убедиться, стоимость обеих портфелей на дату экспирации одинакова.

При реализации второго сценария опцион колл из Портфеля А окажется «в деньгах», а выплата по нему составит $1 800.

($103 - $85) × 100 = $1 800

Суммарная стоимость Портфеля А будет равна $10 300 ($1 800 +$8 500).

Опцион пут из Портфеля Б окажется «вне денег», то есть суммарная стоимость портфеля будет определяться только стоимостью акций и составит $10 300 ($103 × 100).

Итак, стоимость обеих портфелей при спотовой цене в $103 также будет одинаковой. Как уже указывалось выше, эти портфели будут обладать одинаковой стоимостью при любом уровне спотовой цены! Графически это проиллюстрировано на рисунках ниже.

Пут-колл паритет

Рис. 2 – График стоимости Портфеля А на дату экспирации

При любой спотовой цене ниже $85 (страйк) опцион колл будет «вне денег», то есть его стоимость будет равна 0. До этого уровня стоимость Портфеля А определяется только суммой наличных в размере $8 500. При любом уровне спотовой цены выше страйка, стоимость портфеля увеличится на сумму выплаты по опциону колл, то есть на разницу между спотовой ценой и страйком, умноженную на 100.

Пут-колл паритет

Рис. 3 – График стоимости Портфеля Б на дату экспирации

При любом уровне спотовой цены ниже страйка, опцион пут из Портфеля Б будет в деньгах, е его стоимость будет равна разнице между страйком и спотовой ценой, умноженной на сто. При этом стоимость акций будет равна спотовой цене умноженной на 100. Следовательно, при любом уровне спотовой цены ниже $85 стоимость Портфеля Б будет равна $8 500. Если спотовая цена будет выше страйка, то опцион пут окажется «вне денег», а, следовательно, его стоимость будет равна 0. В этом диапазоне цен суммарная стоимость портфеля будет определяться только рыночной стоимостью 100 акций.

Как мы можем наглядно убедиться, для любого значения цены на дату экспирации стоимость Портфеля А будет равна стоимости Портфеля Б.

Важно! Концепция пут-колл паритета строится на предположении о том, что если два портфеля имеют одинаковую стоимость на дату экспирации, то они должны также иметь одинаковую приведенную стоимость.

Это утверждение позволяет записать уравнение пут-колл паритета, которое в общем виде выглядит следующим образом:

C0 + K × e-rt = P0 + S0

где C0 – текущая цена опциона колл европейского стиля; K – наличные необходимые для исполнения опциона колл (страйк × количество акций); e – математическая константа, приблизительно равная 2,7182818; r – годовая безрисковая процентная ставка; t – период времени в годах до даты экспирации; P0 – текущая цена опциона пут европейского стиля; S0 – спотовая стоимость базового актива.

Следует отметить, что компонент формулы e-rt является ставкой дисконтирования, а K×e-rt – это приведенная стоимость денежной суммы, которая будет необходима на дату экспирации для покупки акций по опциону колл.

Важно! Выполнение концепции пут-колл паритета исключает возможность арбитража. Если бы стоимость портфелей была разной, то инвестор мог бы получить безрисковую прибыль купив недооцененный портфель и продав переоцененный портфель.

Пут-колл паритет с учетом выплаты дивидендов

Если базовым активом по опциону выступают акции, по которым выплачиваются дивиденды, то приведенное выше уравнение пут-колл паритета должно быть скорректировано на приведенную стоимость денежного потока, который возникает при выплате дивидендов.

В результате уравнение пут-колл паритета должно быть скорректировано следующим образом:

C0 + D0 + K × e-rt = P0 + S0

Где D0 – приведенная стоимость ожидаемых дивидендов, которые будут выплачены до наступления даты экспирации опционов.

Как мы можем видеть из уравнения, выплата денежных дивидендов приводит к тому, что премия опциона колл уменьшится, а премия опциона пут, наоборот, увеличится.

Важно! Выплата дивидендов по акциям оказывает существенное влияние на ценообразование соответствующих опционов пут и колл. Причиной этому также является падение курса акции на величину дивиденда к выплате на экс-дивидендную дату.

Пут-колл паритет и реальный рынок

На реальных финансовых рынках при осуществлении сделок возникают транзакционные издержки (например, комиссионные брокеру), взимается плата за использование кредитного плеча (левериджа) и существует спред (разница между ценой покупки и продажи). В результате точное выполнение уравнения пут-колл паритета невозможно, поскольку указанные выше расходы будут приводить к некоторым расхождениям. Однако, чем выше ликвидность рынка базового актива, тем меньше будет величина этого расхождения и тем точнее будет выполняться уравнение.

Важно! Модели оценки стоимости опционов, в основу которых не положена концепция пут-колл паритета являются несостоятельными и не могут использоваться на реальных финансовых рынках.

Примеры расчета стоимости опционов

Концепция пут-колл паритета позволяет рассчитать текущую стоимость (премию) опциона пут, если мы знаем текущую стоимость опциона колл. В частности, последнюю мы можем рассчитать применив модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза.

Расчет стоимости опциона пут на акции без выплаты дивидендов

Текущая рыночная цена акций The Goldman Sachs Group, Inc. составляет $207,42. На рынке существует возможность приобрести опцион колл европейского стиля на 100 акций этой компании со страйком $206,35 и экспирацией через 62 дня, выплатив премию его продавцу в размере $12,30 на акцию. Необходимо рассчитать стоимость соответствующего ему опциона пут, если в ближайшие 62 дня выплата дивидендов производиться не будет, а годовая безрисковая процентная ставка составляет 2,50%.

Решение

Поскольку нам известна стоимость (премия) опциона колл, выразим из уравнения пут-колл паритета стоимость (премию) опциона пут:

P0 = C0 + K × e-rt - S0

Рассчитаем стоимость опциона пут подставив исходные данные в уравнение.

t = 62 ÷ 365 = 0,17

P0 = $12,30 + $206,35 × 2,7182818-0,025×0,17 - 207,42 = $10.36

Таким образом, премия опциона пут европейского стиля на 100 акций The Goldman Sachs Group, Inc. с той же самой датой экспирации и страйком должна составлять $10.36 на акцию, чтобы возможность арбитража была исключена.

Расчет стоимости опциона пут на акции с выплатой дивидендов

Давайте рассмотрим условие предыдущего примера, предположив что через 40 дней ожидается выплата дивидендов в размере $1,25 на акцию.

Решение

Выразим стоимость опциона пут из уравнения пут-колл паритета, которое учитывает выплату дивидендов.

P0 = C0 + D0 + K × e-rt - S0

Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой рассчитаем приведенную стоимость дивидендов. Срок в годах до их выплаты равен 0,11 (40 ÷ 365).

D0 = $1,25 × 2,7182818-0,025×0,11 = $1,2466

Подставим исходные данные в уравнение.

P0 = $12,30 + $1,2466 + $206,35 × 2,7182818-0,025×0,17 - 207,42 = $11,60

Как мы смогли убедиться, выплата дивидендов увеличивает стоимость (премию) опциона пут.

Важно! Следует понимать, что концепция пут-колл паритета не является моделью оценки стоимости опционов, как, например модель Блэка-Шоулза или биноминальная модель. Данная концепция описывает зависимость между стоимостью опциона колл и соответствующего ему опциона пут.