fi
Финансовые инвестиции
образовательный центр
✉ Контакты

Биномиальная модель ценообразования опционов

Введение

Модели ценообразования опционов основываются на достаточно сложном математическом аппарате, что делает их сложными для восприятия и понимания. С этой точки зрения начинать изучение оценки опционов следует с однопериодной биномиальной модели. И хотя она может показаться довольно примитивной на первый взгляд, эта модель очень удобна для иллюстрации механизма ценообразования опционов.

Исходные положения

Биномиальная модель может быть применена для оценки стоимости опционов только в том случае, если выполняются все перечисленные ниже условия.

  1. Два возможных состояния цены базового актива. Говоря простыми словами, на конец каждого периода (итерации) цена базового актива может либо увеличиться (верхнее состояние) либо уменьшиться (нижнее состояние) относительно ее значения на начало периода.
  2. Отсутствие возможности арбитража. Участники рынка не могут получить безрисковую прибыль за счет разницы цен на базовый актив на различных рынках.
  3. Постоянство безрисковая процентная ставка. До конца экспирации опциона величина безрисковой процентной ставки остается неизменной.
  4. Бесконечная делимость активов. Любой участник рынка имеет возможность купить или продать любое количество актива, включая дробное.
  5. Отсутствие транзакционных издержек. При купле продаже актива не возникают какие-либо затраты, как то комиссионные или налоги.
  6. Отсутствие дивидендов. До наступления даты экспирации опциона по базовому активу не осуществляется дивидендных выплат.
  7. Нейтральность к риску. Все участники рынка являются нейтральными к риску (англ. Risk Neutral), то есть выбирают актив по критерию наибольшей доходности, не учитывая сопутствующий риск.

Однопериодная биномиальная модель

Однопериодная биномиальная модель ценообразования опционов очень проста, но она идеально подходит для наглядной иллюстрации механизма оценки их стоимости. Давайте рассмотрим ее на простом примере.

Пример

Предположим, что на рынке существует европейский опцион колл на акции со страйком $30. Текущая цена акции составляет $30. Ожидается, что на дату экспирации опциона она может либо вырасти до $35, либо упасть до $25. Это проиллюстрировано в виде биномиального дерева на рис. 1.

Пример однопериодной биномиальной модели

Рис. 1. Варианты изменения цены акции

Для решения задачи определения текущей цены этого опциона мы сформируем репликантный портфель, стоимость которого на конец периода будет равна стоимости опциона как при верхнем, так и при нижнем состоянии. Имея опцион колл и портфель, которые при любом из двух исходов будут обладать одинаковой стоимостью на конец периода, мы может сделать утверждение, что их стоимость на начало периода также должна быть одинаковой. Говоря простыми словами, текущая стоимость репликантного портфеля будет равна текущей стоимости опциона колл.

Как мы уже знаем, выплата по опциону колл на акцию рассчитывается по следующей формуле:

max [0, St - K]

где St – спотовая цена базового актива на дату исполнения, K – цена исполнения (страйк).

При цене $35 опцион колл окажется в деньгах и выплата по составит $5 на акцию. При цене $25 он будет вне денег, то есть размер выплаты будет равен 0.

Сформируем репликантный портфель из акций и безрисковых облигаций таким образом, чтобы на конец периода он имел такую же стоимость, как и опцион колл, при условии, что безрисковая процентная ставка за период равна 3%.

Обозначим количество акций в репликантном портфеле через X, а количество облигаций через Y. Для удобства расчетов мы также примем предположение, что номинал облигации равен $1. Составим систему одновременных уравнений, чтобы определить, какое количество акций и облигаций должно быть включено в репликантный портфель, чтобы его стоимость на конец периода была такой же, как и стоимость опциона колл.

35X + 1,03Y = 5

25X + 1,03Y = 0

Решив эту систему уравнений относительно переменных X и Y, мы получим X = 0,5 и Y = -12,136.

Полученные данные интерпретируются следующим образом. Репликантный портфель состоит из длинной позиции в акциях в количестве 0,5 штук и короткой позиции в облигациях номиналом $1 в количестве 12,136 штук. Короткая позиция в облигациях означает, что было продано 12,136 облигаций номиналом $1. Другими словами, это равнозначно тому, что инвестор взял в долг $12,136 под безрисковую процентную ставку 3%.

Рассчитаем стоимость репликантного портфеля на начало периода:

30X + Y = $30×0,5 – $12,136 = $2,864

Таким образом, цена опциона колл на начало периода также должна быть равна $2,864, поскольку только она исключает возможность арбитража. В противном случае участники смогут извлечь безрисковую прибыль купив недооцененный актив и продав переоцененный актив.

Важно! Выплата по репликантному портфелю будет равна выплате по опциону только при двух значениях цен $35 и $25. Во всех остальных случаях они будут разные, что проиллюстрировано на рисунке ниже.

График выплат по опциону колл и репликантному портфелю

Рис. 2. График выплат по опциону колл и репликантному портфелю на конец периода

Формула

Рассмотрев на примере методику определения цены опциона колл для однопериодной биномиальной модели, мы можем вывести формулу для ее расчета.

Однопериодная биномиальная модель

Рис. 3. Однопериодная биномиальная модель

Обозначим текущую цену базового актива как S0, на конец периода она может достигнуть либо верхнего состояния Su, либо нижнего Sd. Стоимость опциона колл для верхнего состояния обозначим как CALLu, а для нижнего состояния как CALLd.

Количество акций в репликантном портфеле обозначим греческой буквой Δ, а количество облигаций как B. Поскольку при любом состоянии цены на конец периода стоимость репликантного портфеля равна стоимости опциона колл, мы можем записать следующую систему одновременных уравнений.

CALLu = SuΔ + B(1 + rf)

CALLd = SdΔ + B(1 + rf)

Решив эти уравнения относительно переменных Δ и B мы получим следующие формулы для их расчета:

Δ =  CALLu - CALLd
Su - Sd
B =  CALLd - SdΔ
1 + rf

Важно! Переменная Δ представляет собой важнейший коэффициент, который носит название дельта опциона. Он характеризует меру чувствительности стоимости опциона колл к изменению цены базового актива. Например, если Δ = 0,69, то при росте цены базового актива на $1, цена опциона колл увеличится на $0,69. При снижении цены на $1, цена опциона колл, напротив, снизится на $0,69.

Теперь мы можем записать формулу расчета текущей цены опциона колл (CALL0) для условий однопериодной биномиальной модели.

CALL0 = S0Δ + B

Важно! Цена соответствующего ему европейского опциона пут может быть рассчитана по формуле пут-колл паритета для европейских опционов.

Мультипериодная биномиальная модель

Основной недостаток однопериодной биномиальной модели заключается в ее примитивности, поскольку она предполагает всего два возможных исхода для цены базового актива. Естественно, что для реальных финансовых рынков такое развитие событий не характерно. Чтобы сделать модель более реалистичной, необходимо уменьшать продолжительность одного периода, увеличивая тем самым их количество.

Для наглядной демонстрации этого принципа проиллюстрируем его на примере двухпериодной биномиальной модели.

Пример

Предположим, что на рынке существует европейский опцион колл на акции со страйком $75, дата экспирации которого совпадает с окончанием второго периода. Возможные состояния цены акции на конец 1-го и 2-го периодов представлены в виде биномиального дерева (решетки) на рисунке ниже.

Пример двухпериодной биномиальной модели

Рис. 4. Варианты изменения цены акции для двухпериодной биномиальной модели

Важно! Отличительной особенностью биномиальной модели является то, что на конец каждого отдельно взятого периода цена базового актива может достигнуть только одного из двух состояний. Однако, по мере увеличения количества периодов возрастает общее количество исходов на дату экспирации. В частности, для двухпериодной модели оно будет равно 3 ($50, $70 и $90 для условия данного примера). Следовательно, увеличение количества периодов делает модель более реалистичной.

Чтобы оценить текущую стоимость опциона колл (0-ой период на рис. 4), мы должны двигаться от конца биномиального дерева к его началу.

На первом этапе мы рассмотрим ветку верхнего состояния 1-го, когда цена акции возрастает до $80. Схематически это представлено на рис. 5.

Пример двухпериодной биномиальной модели

Рис. 5. Варианты изменения цены акции во 2-ом периоде после верхнего состояния 1-го периода

Если цена акции на конец второго периода возрастет до $90, то опцион колл на дату экспирации окажется в деньгах, а выплата по нему составит $10. Если на момент экспирации цена снизится до $70, опциону колл окажется вне денег, а его стоимость будет равна 0. Чтобы рассчитать стоимость опциона колл на конец 1-го периода для состояния цены $80, воспользуемся приведенной выше формулой, предположив, что безрисковая процентная ставка за один период составляет 3%.

Δ =  $15 - $0  = 0,75
$90 - $70

B =  $0 - $70×0,75  = -$50,97
1 + 0,03

Полученные значения Δ = 0,75 и B = -$50,97 означают, что репликантный портфель состоит из длинной позиции по акциям в количестве 0,75 акций и короткой позиции по облигациям номиналом $1 в количестве 50,97.

CALL1 = $80×0,75 – 50,97 = $9,03

В случае, если на конец 1-го периода цена акций примет нижнее состояние (опустится до $60), то на дату экспирации опцион колл окажется вне денег как при верхнем так и при нижнем состоянии 2-го периода (рис. 6).

Пример двухпериодной биномиальной модели

Рис. 6. Варианты изменения цены акции во 2-ом периоде после нижнего состояния 1-го периода

Следовательно, цена опциона колл на конец 1-го периода для нижнего состояния будет равна $0.

Зная цену опциона колл на конец первого периода при верхнем и нижнем состоянии , мы можем рассчитать его текущую цену (рис. 7).

Пример двухпериодной биномиальной модели

Рис. 7. Варианты изменения цены акции и цена опциона колл на конец 1-го периода

Δ =  $9,03 - $0  = 0,45
$80 - $60

B =  $0 - $60×0,45  = -$26,21
1 + 0,03

CALL0 = $70×0,45 – 26,21 = $5,29

Таким образом, текущая цена опциона колл должна составлять $5,29.

Важно! Расчет цены опциона колл для биномиальной модели с количеством периода больше двух осуществляется по такому же самому алгоритму. Однако по мере увеличения биномиального дерева объем расчетов возрастает в геометрической прогрессии.

Преимущества и недостатки

Главным преимуществом использования биномиальной модели оценки опционов является то, что нам не нужно оценивать вероятность наступления верхнего или нижнего состояния. Нам также не нужно оценивать ожидаемую доходность базового актива, которая напрямую зависит от этих вероятностей.

Также несомненным преимуществом данной методики является возможность увеличения количества периодов, что позволяет сделать модель более реалистичной.

Основным недостатком данной модели является предположение о том, что цена базового актива на конец периода может принять только одно из двух возможных состояний (верхнее или нижнее). Поведение цен активов на реальных финансовых рынках отличается от данной модели для сколь-либо продолжительного периода времени. Тем не менее, на очень коротких периодах времени биномиальная модель позволяет получить достаточно точную оценку стоимости опциона.

Выводы

Биномиальная модель ценообразования опционов позволяет рассчитать цену опциона колл европейского типа. Ее практическое применение дает довольно точную оценку на очень коротких периодах времени, однако точность модели падает по мере увеличения их продолжительности.

Очевидно, что для поднятия точности модели необходимо снижать продолжительность отдельного периода, что приведет к увеличению их количества. Если продолжительность отдельного периода будет стремится к нолю, а их количество к бесконечности, мы сможем рассчитать цену европейского опциона колл при помощи модели Блэка-Шоулза, которую мы рассмотрим в следующем разделе.