fi
Финансовые инвестиции
образовательный центр
✉ Контакты

Модель Блэка-Шоулза

Введение

Модель ценообразования опционов была впервые представлена общественности в 1973 году двумя учеными: Фишером Блэком (Fisher Black) и Майраном Шоулзом (Myron Scholes). В настоящее время она широко известна как «модель Блэка-Шоулза» (англ. Black-Scholes Option Pricing Model). Авторами была предложена математическая модель описывающая рынок финансовых деривативов. Практическим результатом модели стала формула Блэка-Шоулза, которая позволила рассчитать цену опциона колл европейского типа. Ее появление привело к буму торговли опционами, а сама она получила широкое применение среди участников рынка. Как и любая математическая модель, она имеет свои преимущества и недостатки, с которыми мы сейчас попытаемся разобраться.

Исходные предположения модели Блэка-Шоулза

К исходным предположениям, на которых основывается модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза, относятся.

  1. Отсутствие арбитража. Ни один из участников рынка не может получить прибыль за счет разницы цен на один и тот же актив на разных рынках. Другими словами, цена актива одинакова на всех рынках.
  2. Безрисковая процентная ставка. Любой участник рынка может взять в долг или одолжить любую сумму в любой момент времени под безрисковую процентную ставку.
  3. Отсутствие ограничений на торговлю. В любой момент времени у участников рынка есть возможность купить или продать любое количество акций, включая дробное. Также не существует ограничений на короткую продажу.
  4. Отсутствие транзакционных издержек. При осуществлении покупки или продажи участники рынка не несут каких-либо дополнительных затрат, как, например, комиссионные или налоги.
  5. Цена актива изменяется случайным образом. Изначально предполагается, что курс акций изменяется случайным образом (подчиняется закону нормального распределения) с постоянным направлением и волатильностью.
  6. Отсутствие дивидендов. Предполагается, что по акции, являющейся базовым активом для опциона, не выплачиваются дивиденды.
  7. Нейтральность к риску. Все участники рынка являются нейтральными по отношению к риску, то есть принимают решение в пользу актива с максимальной доходностью не принимая при этом во внимание фактор риска. Другими словами, если существует два актива с одинаковой доходностью, но разным уровнем риска, нейтральному к риску инвестору будет безразлично какой из них выбрать. При этом, не склонный к риску инвестор (англ. Risk Averse Investor) выберет актив с меньшим риском, а склонный к риску инвестор (англ. Risk Seeking Investor) остановится на активе с большим риском.

При условии выполнения всех этих предположений модель Блэка-Шоулза показывает, что существует возможность формирования портфеля путем продажи опциона колл и покупки акций, стоимость которого не будет зависеть от курса акций.

По мере развития и дополнения модели некоторые из этих исходных предположений были исключены. В современных вариациях модели Блэка-Шоулза учитывается динамическое изменение процентных ставок, транзакционные издержки, налоги и выплата дивидендов.

Уравнение Блэка-Шоулза

Само по себе, уравнение Блэка-Шоулза является дифференциальным уравнением в частных производных (англ. Partial Differential Equation), которое описывает цену опциона колл во времени. Главная идея уравнения состоит в том, что существует возможность идеально хеджировать опцион, правильным способом покупая и продавая базовый актив, то есть устранить риск. Такое хеджирование, в свою очередь, подразумевает, что существует только одна истинная цена опциона колл, которая рассчитывается по формуле Блэка-Шоулза.

В общем виде уравнение Блэка-Шоулза может быть записано так:

δV  +  1 σ2S2 δ2V  + rS δV  - rV = 0
δt 2 δS2 δS

где V – цена опциона как функция от времени и цены базовой акции;
t – время в годах (в настоящий момент равна 0, при истечении срока действия опциона равна T);
σ – волатильность доходности акции (среднеквадратическое отклонение доходности, рассчитанное по выборке цен акции за определенный период).
S –цена акции;
r – годовая безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая).

С учетом исходных предположений модели Блэка-Шоулза, это дифференциальное уравнение в частных производных подходит для любого типа опционов, пока его функция цены (V) дважды дифференцируема относительно S и один раз относительно t. Различные формулы ценообразования для различных опционов возникают в зависимости от выбора функции выплаты при истечении срока действия и соответствующих граничных условий.

Формула Блэка-Шоулза

Формула Блэка-Шоулза позволяет рассчитать цену опциона колл европейского типа. Она выводится из приведенного выше уравнения в результате его решения при соответствующих предельных и граничных условиях.

Без выплаты дивидендов

Цена опциона колл [C(St, t)] для базовой акции, по которой не выплачиваются дивиденды, рассчитывается по формуле:

C(St, t) = N(d1)St - N(d2)Ke-r(T-t)

где St – спотовая цена базового актива в момент времени t;
K – цена исполнения опциона (англ. Strike Price);
e – константа (число Эйлера), приблизительно равная 2,718281828;
r – годовая безрисковая процентная ставка;
(T-t) – время до истечения срока действия опциона в годах.

N(d1) является вероятностью того, что опцион колл окажется «в деньгах», то есть спотовая цена базового актива на момент исполнения T будет выше или равна страйку (ST ≥ K). В свою очередь N(d2) является вероятностью того, что опцион колл окажется «вне денег», то есть (ST < K).

N(x) представляет собой интегральную функцию стандартного нормального распределения (математическое ожидание равно 0, среднеквадратическое отклонение равно 1) вида:

Интегральная функция стандартного нормального распределения

Для расчета значения параметров d1 и d2 используется следующая формула:

ln St   + (r +  σ2 )(T-t)
d1 K 2
σ√T-t
ln St   + (r -  σ2 )(T-t)
d2 K 2
σ√T-t

или

d2 = d1 - σ√T-t

где σ – среднеквадратическое отклонение доходности базовой акции.

Рассчитать значение N(d1) и N(d2) удобнее всего в Excel воспользовавшись функцией НОРМ.СТ.РАСП (см. Пример расчета).

Формула для расчета цены соответствующего опциона пут выводится из уравнения пут-колл паритета:

P(St, t) = Ke-r(T-t) - St + C(St, t)

или

P(St, t) = N(-d2)Ke-r(T-t) - N(-d1)St

С выплатой дивидендов

Дискретные дивиденды

В результате выплаты дивидендов цена акции снижается, следовательно цена опциона колл также уменьшается, а цена соответствующего ему опциона пут увеличивается. Чтобы учесть это в формуле текущая спотовая цена акции (St) должна быть уменьшена на величину приведенной стоимости ожидаемых дивидендов, которые будут выплачены до наступления даты исполнения опциона.

F = St N Di
Σ
(1 + r)Ti
i = 1

Где F – форвардная цена акции, Di – ожидаемый размер дивиденда в i-ом периоде, Ti – время в годах до i-ой выплаты дивидендов, N – ожидаемое количество выплат дивидендов до истечения срока действия опциона колл.

В этом случае формула Блэка-Шоулза с учетом дивидендов приобретает следующий вид:

C(St, t) = e-r(T-t)[FN(d1) - KN(d2)]

P(St, t) = e-r(T-t)[KN(-d2) - FN(-d1)]

Важно! Формула расчета параметров d1 и d2 остается без изменений!

Непрерывные дивиденды

В случае с опционом колл на индекс делается предположение о непрерывной выплате дивидендов, поскольку индекс включает в себя множество акций, дивиденды по которым выплачиваются в разное время. Вторым предположением является постоянная ставка дивидендной доходности (q). В этом случае формула Блэка-Шоулза для опциона колл приобретает следующий вид:

C(St, t) = e-r(T-t)[FN(d1) - KN(d2)]

Цена соответствующего опциона пут рассчитывается так:

P(St, t) = e-r(T-t)[KN(-d2) - FN(-d1)]

При этом F является модифицированной форвардной ценой, которая рассчитывается по формуле:

F = St e(r-q)(T-t)

Важно! Предположения о непрерывности дивидендных выплат и постоянной ставке дивидендной доходности должны быть учтены при расчете параметров d1 и d2.

ln St   + (r - q +  σ2 )(T-t)
d1 K 2
σ√T-t

d2 = d1 - σ√T-t

Греки

Так называемые «греки» используются для оценки чувствительности стоимости опциона к изменению одного из параметров, в то время как остальные параметры остаются неизменными. Они применяются трейдерами и финансовыми институтами для оценки и управления рисками. В граничных условиях модели Блэка-Шоулза формулы для расчета греков опционов колл и пут европейского типа приведены ниже.

Дельта

Дельта (англ. Delta) считается наиболее важной из «греков», поскольку она оценивает чувствительность цены опциона к изменению цены базового актива. Например, если дельта опциона колл равна 0,75, и цена базовой акции увеличивается на $1, то цена этого опциона увеличится на $0,75. Для расчета значения этого коэффициента используются следующие формулы.

δCALL = N(d1)

δPUT = -N(-d1) = N(d1) - 1

Гамма

Гамма (англ. Gamma) является первой производной от дельты опциона и оценивает скорость ее изменения при изменении цены базового актива на 1 пункт (обычно $0,01). Например, если гамма опциона равна 2, то при росте цены базового актива на 1 пункт, дельта опциона вырастет на 2 пункта.

Исходя из пут-колл паритета гамма одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут:

γ =  N’(d1)
Stσ√T-t

где N’(x) – функция плотности вероятности.

Вега

Вега (англ. Vega) используется для оценки чувствительности цены опциона к изменению среднеквадратического отклонения доходности базового актива. Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении среднеквадратического отклонения на 1%. Например, если вега равна 0,5, то при изменении среднеквадратического отклонения с 11% до 12% цена опциона вырастет на $0,5.

Исходя из пут-колл паритета вега одинакова для опциона колл и соответствующего опциона пут.

ν = StN’(d1)√T-t

Тета

Тета (англ. Theta) является коэффициентом, который характеризует изменение цены опциона по мере приближения даты его экспирации. Например, если тета опциона равна 0,75, то на следующий день его цена должна снизиться на $0,75.

Для расчета теты опциона колл и соответствующего опциона пут используются следующие формулы:

θCALL StN’(d1   - rKe-r(T-t)N(d2)
2√T-t
θCALL StN’(d1  + rKe-r(T-t)N(-d2)
2√T-t

Следует также отметить, что гамма и тета опциона всегда имеют противоположные знаки. Также для теты характерен рост по мере приближения даты экспирации.

Ро

Ро (англ. Rho) используется в качестве меры чувствительности опциона к изменению безрисковой процентной ставки, в качестве которой обычно используют ставку по Казначейским векселям США (англ. Treasury Bill, T-bill). Формула для ее расчета выглядит следующим образом:

ρCALL = K(T-t)e-r(T-t)N(d2)

ρPUT = -K(T-t)e-r(T-t)N(-d2)

Этот коэффициент показывает на сколько изменится цена опциона при изменении безрисковой процентной ставки на 1%. Предположим, что ро опциона колл равна 0,35 и -0,25 для соответствующего опциона пут. Если ставка по Казначейским векселям возрастает с 2,50% до 3,50%, то цена опциона колл увеличится на $0,35, а цена опциона пут снизится на $0,25. В случае снижения процентных ставок цена опциона колл будет снижаться, а опциона пут расти.

Примеры

Пример расчета цены европейского опциона на акции без выплаты дивидендов

В настоящий момент инвестор имеет возможность приобрести европейский опцион пут на акции корпорации Apple Inc. по цене $4.57. Необходимо определить, следует ли инвестору приобретать этот опцион, если он располагает следующей информацией:

Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой Блэка-Шоулза нам необходимо рассчитать параметры d1 и d2.

(T-t) =  (21 - 0)  = 0,057534
365

ln 196,16   + (0,025 +  0,26072 )0,057534
d1 192,50 2  = 0,355464
0,2607√0,057534

d2 = 0,355464 - 0,2607√0,057534 = 0,292932

Для расчета значений N(d1) и N(d2) воспользуемся функцией Excel НОРМ.СТ.РАСП.

Пример расчета модели Блэка-Шоулза в Excel

  1. В ячейку B1 и B2 введем полученные значения d1 и d2.
  2. Выберите ячейку B4.
  3. Нажмите кнопку fx, в поле Категория выберите Полный алфавитный перечень, в открывшемся списке выберите функцию НОРМ.СТ.РАСП.
  4. В поле Z выберите ячейку B1, а в поле Интегральная введите значение 1 (логическая переменная для выбора интегральной функции распределения, если ввести 0 то будет выбрана функция плотности вероятности!).
  5. Нажмите кнопку OK.

Полученное значение интегральной функции распределения N(d1) составляет 0,638879. Аналогичным образом рассчитывается и значение N(d2), которое составляет 0,615213.

Рассчитаем цену опциона колл на акции Apple Inc. приняв ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой процентной ставки:

С(St,t) = 0,638879×196,16 - 0,615213×192,5×2,718282-0,025×0,057534 = $7,06

Рассчитаем цену соответствующего опциона пут воспользовавшись уравнением пут-колл паритета:

P(St,t) = 192,5×2,718282-0,025*0,057534 - 196,16 + 7,06 = $3,13

Поскольку справедливая цена опциона пут составляет $3,13, инвестору не стоит принимать предложение об его покупке по цене $4,57.

Пример расчета цены европейского опциона на акции с выплатой дивидендов

Предположим, что на рынке есть европейский опцион колл на акции General Motors Company с ценой исполнения $35.00, экспирация которого наступает через 173 дня. В настоящий момент акции этой компании торгуются по цене $38.86, среднеквадратическое отклонение их годовой доходности равно 14,57%, а ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям составляет 2,50%. При этом ожидается, что до истечения срока действия опциона будет произведено две выплаты дивидендов в размере $1,52 на акцию. Первая из них ожидается через 64 дня, а вторая через 151 день.

Чтобы рассчитать цену этого опциона колл необходимо воспользоваться формулой Блэка-Шоулза с учетом дивидендных выплат. Для этого рассчитаем форвардную цену акций F приняв процентную ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой.

T1 64  = 0,1753
365

T2 151  = 0,4137
365

F = 38,86 -  1,52  -  1,52  = $35,84
(1+0.025)0,1753 (1+0.025)0,4137

(T-t) =  (173-0)  = 0,474
365

ln 38,86   + (0,025 +  0,14572 )0,474
d1 35 2  = 1,21124
0,1457√0,474

d2 = 1,21124 - 0,1457√0,474 = 1,11094

Значения интегральной функции распределения рассчитываются в Excel: N(d1) = 0,8871 и N(d2) = 0,8667.

С(St,t) = 2,718282-0,025×0,474(35,84×0,8871 - 35×0,8667) = $1,44

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d1) = 0,1129 и N(-d2) = 0,1333.

P(St,t) = 2,718282-0,025×0,474(35×0,1333 - 35,84×0,1129) = $0,61

Пример расчета цены европейского опциона на индекс с выплатой дивидендов

Текущее значение индекса S&P 500 составляет 2 878,20. Необходимо определить цену европейского опциона колл на этот индекс с ценой исполнения 2 650,50, который истекает через 55 дней. При этом годовое среднеквадратическое отклонение индекса составляет 11,54%, а процентная ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям 2,50%. Постоянная ставка дивидендной доходности (q) равняется 5,78%.

Рассчитаем модифицированное форвардное значение индекса (F) и параметры d1 и d2.

(T-t) =  (55-0)  = 0,1507
365

F = 2 878,20×2,718282(0,025-0,0578)×0,1507 = 2 864,01

ln 2 878,20   + (0,025 -0,0578 +  0,11542 )0,1507
d1 2 650,50 2  = 1,7519
0,1154√0,1507

d2 = 1,7519 - 0,1154√0,1507 = 1,7071

N(d1) = 0,9601 и N(d2) = 0,9561 были рассчитаны в Excel.

С(St,t) = 2,718282-0,025×0,1507(2 864,01×0,9601 - 2 650,50×0,9561) = $214,80

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d1) = 0,0399 и N(-d2) = 0,0439.

P(St,t) = 2,718282-0,025×0,1507(2 650,50×0,0439 - 2 864,01×0,0399) = $2,09