Финансовые инвестиции - образовательный центр

информационный портал об инвестициях и инвестиционных инструментах

Среднеквадратическое отклонение | Standard Deviation

В качестве показателя оценки автономного риска ценной бумаги или любого другого актива может использоваться среднеквадратическое отклонение (англ. Standard Deviation), называемое также среднеквадратичным отклонением или стандартным отклонением. В статистике этот показатель используется для оценки рассеивания случайной величины относительно ее ожидаемого значения. Для его расчета его истинного значения можно воспользоваться следующей формулой (1):

Формула истинного значения среднеквадратического отклонения (1)

где ki – доходность ценной бумаги или актива при i -ом варианте исхода событий;

- ожидаемая доходность ценной бумаги или актива;

Pi – вероятность i-го варианта исхода событий.

Воспользоваться этой формулой можно только в случае, когда известен полный набор вероятностей исхода событий, что достаточно редко встречается на практике. Тем не менее рассмотрим пример расчета истинного значения среднеквадратического отклонения, если известен полный набор вероятностей.

Пример. Предположим, что на рынке существуют акции двух компаний, предполагаемая годовая доходность которых описывается следующим набором вероятностей:

Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой истинного значения среднеквадратического отклонения необходимо рассчитать ожидаемую доходность для каждой из ценных бумаг по следующей формуле (2):

ожидаемая доходность формула (2)

где Pi – вероятность наступления i-го исхода событий;

ki – доходность при i-ом исходе развития событий.

Ожидаемая доходность для акций Компании А и Компании Б является одинаковой и составляет 15,17%.

Таким образом, среднеквадратическое отклонение для акций Компании А составит 7,7.

Для акций Компании Б величина среднеквадратического отклонения составит 10,66.

Хотя ожидаемая доходность по акциям обеих компаний одинакова, риск инвестирования в акции Компании Б выше, поскольку у нее выше рассеивание доходности относительно ожидаемого значения.

Оценочное значение среднеквадратического отклонения

Выше был рассмотрен случай, когда известен полный набор вероятностей, что крайне редко встречается на практике. Гораздо чаще возникает необходимость расчета среднеквадратического отклонения случайной величины на основании исторических данных. Примером таких данных может быть историческая доходность ценной бумаги, которая представлена статистическим рядом.

Важным аспектом является тот момент, что при исследовании рассматривается вся генеральная совокупность исторической информации, или расчеты производится на основании некой выборки из генеральной совокупности. В первом случае для расчета среднеквадратического отклонения используется формула (3).

Формула оценочного значения среднеквадратического отклонения на основе всей генеральной совокупности (3)

где ki – доходность ценной бумаги в i-ом периоде;

- средняя доходность ценной бумаги за последние n периодов;

n – количество периодов.

Если при исследовании анализируется не весь массив имеющихся данных, а определенная выборка, то для расчета величины среднеквадратического отклонения используется следующая формула (4):

Формула оценочного значения среднеквадратического отклонения на основе выборки из генеральной совокупности (4)

Уменьшение степеней свободы (n) на 1 вызвано тем обстоятельством, что при проведении анализа на основе выборки происходит смешенная оценка ожидаемого значения случайной величины, что выражается в ее недооценке. Устранение этого момента достигается за счет снижения количества степеней свободы на 1.

Чтобы разобраться в методике расчета оценочного среднеквадратического отклонения рассмотрим пример.

Пример. Доходность ценной бумаги Компании А за последние 10 недель представлена в таблице.

Если представленная информация отражает генеральную совокупность данных о доходности этой ценной бумаги, то для расчета среднеквадратического отклонения необходимо использовать формулу (3). Для этого нам надо найти ожидаемую доходность ценной бумаги, которая будет равна ее математическому ожиданию 3,764%.

Подставив имеющиеся данные в формулу (3) рассчитаем значение среднеквадратического отклонения.

σ = (((2,73-3,764)2 + (2,96-3,764)2 +(2,84-3,764)2 +(3,25-3,764)2 +(3,77-3,764)2 +(4,17-3,764)2 +(4,04-3,764)2 +(4,55-3,764)2 +(4,41-3,764)2 +(4,92-3,764)2)/10)0,5= 0,738

Аналогичные расчеты для всей генеральной совокупности данных можно произвести в Excel при помощи функции СТАНДОТКЛОН.

Если представленные данные являются выборкой из генеральной совокупности, то для расчета среднеквадратического отклонения необходимо применить формулу (4).

σ = (((2,73-3,764)2 + (2,96-3,764)2 +(2,84-3,764)2 +(3,25-3,764)2 +(3,77-3,764)2 +(4,17-3,764)2 +(4,04-3,764)2 +(4,55-3,764)2 +(4,41-3,764)2 +(4,92-3,764)2)/9)0,5= 0,778

Аналогичные расчеты для выборки из генеральной совокупности данных можно произвести в Excel при помощи функции СТАНДОТКЛОНП, которая учитывает количество степеней свободы как (n-1).

Интерпретация

Чем выше величина среднеквадратического отклонения, тем больший разброс относительно ее ожидаемого значения демонстрирует случайная величина. Например, применительно к акциям среднеквадратическое отклонение используется в качестве показателя их волатильности. Для акций крупнейших корпораций, называемых «голубыми фишками», волатильность, как правило, существенно ниже волатильности рынка. И наоборот, для акций корпораций с маленькой капитализацией и нестабильными доходами, среднеквадратическое отклонение доходности может в несколько раз превышать рыночное. Другими словами, этот показатель может использоваться как мера риска инвестирования в определенную ценную бумагу.

Правило трех сигм

При условии, что случайная величина является нормально распределенной, приблизительно 99,73% наблюдений попадут в интервал (). На графике плотности вероятности нормального распределения это выглядит следующим образом.

Правило трех сигм

Таким образом, можно утверждать, что в интервал () попадут примерно 68,26% наблюдений случайной величины, а в интервал () примерно 95,46%.

Форекс: подводим итоги 2016 года

07.01.2017
Обзоры рынков

2016-ый год был богат на события, которые стали драйверами международного валютного рынка. По уровню волатильности с ним ... читать дальше

Составляем бизнес-план для нового кафе или ресторана

06.01.2017
Личные финансы

Наверняка каждого из нас посещала мысль о создании собственного бизнеса, а именно об открытии собственного кафе или ресторана. На первый взгляд концепция такой бизнес-модели ... читать дальше

Реестр владельцев акций акционерных обществ

22.12.2016
Долевые ценые бумаги

Согласно Федеральному законопроекту подписанного 02.07.2013 под номером 142-ФЗ "О внесении изменений в подраздел III раздела 1 части первой Гражданского кодекса РФ" все ... читать дальше

Постоянные затраты

08.12.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

Постоянными затратами в управленческом учете являются расходы, величина которых не зависит от объема произведенной или реализованной продукции в рамках релевантного диапазона ... читать дальше

Себестоимость реализованной продукции

01.12.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

Себестоимость реализованной продукции представляет собой сумму расходов на производство продукции, которая была реализована в течение отчетного периода ... читать дальше

Себестоимость произведенной продукции

23.11.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

В управленческом учете себестоимость произведенной продукции представляет собой калькуляцию производственных затрат, которые были понесены в учетном периоде ... читать дальше

Первичные и добавленные затраты

22.11.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

Первичные и добавленные затраты применяются в управленческом учете производственного сектора как показатель эффективности производства конкретного вида продукции ... читать дальше

Затраты на продукт и на период

12.11.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

Одним из подходов классификации затрат в управленческом учете является выделение затрат на продукт и на период. Чтобы понять разницу между затратами на продукт и на период, необходимо ... читать дальше

Прямые и косвенные затраты

10.11.2016
Управленческий учет / Классификация затрат

Под классификацию прямых затрат попадают те из них, которые могут быть легко отнесены к конкретному объекту затрат ... читать дальше