Проблема множественности IRR

Определение

Проблема множественности IRR (Internal Rate of Return) возникает при оценке инвестиционных проектов с неординарным денежным потоком, когда величина чистых денежных потоков по годам меняет свой знак с отрицательного на положительный более одного раза!

Ординарный и неординарный денежный поток

Проект с ординарным денежным потоком предполагает, что его чистый денежный поток по годам меняет знак с «-» на «+» один раз, то есть за одним или несколькими отрицательными денежными потоками следуют только положительные чистые денежные потоки.

Проект с неординарным денежным потоком предполагает, что за положительным чистым денежным потоком последует хотя бы один отрицательный чистый денежный поток, то есть смена его знака с «+» на «-» происходит хотя бы один раз.

Примеры инвестиционных проектов с ординарным и неординарным денежным потоком приведены в таблице.

Примеры инвестиционных проектов с ординарным и неординарным денежным потоком

Формула

Поскольку внутренняя норма доходности является ставкой дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость (англ. Net Present Value, NPV) проекта равна 0, для ее нахождения необходимо решить следующее уравнение относительно переменной «IRR».

Уравнение IRR в общем виде

Приведенной выше уравнение является многочленом N-ой степени и имеет N корней. В случае инвестиционного проекта с ординарным денежным потоком все корни этого уравнения, за исключением одного действительного, являются мнимыми, поэтому проблемы множественности IRR не возникает. Однако в случае проекта с неординарным денежным потоком уравнение может иметь несколько действительных корней, что приводит к проблеме множественности значений внутренней нормы доходности.

Пример

Проиллюстрируем проблему множественности IRR на примере проекта с неординарным денежным потоком, информация по которому представлена в таблице.

Проблема множественности IRR - пример

Составим уравнение при условии, что чистая приведенная стоимость проекта равна 0.

Решив это уравнение относительно IRR, мы получим два действительных корня 0,050699 и 0,824254. Это означает, что чистая приведенная стоимость проекта будет равна 0 как при ставке дисконтирования 5,0699%, так и при 82,4254%. Таким образом, у данного проекта есть два значения внутренней нормы доходности.

График

Чтобы визуализировать проблему, построим график зависимости чистой приведенной стоимости проекта (ось Y) от ставки дисконтирования (ось X) на основании данных из приведенного выше примера.

Проблема множественности IRR - график

Как можно видеть на графике, чистая приведенная стоимость проекта будет отрицательной при стоимости капитала, привлекаемого для его реализации, менее 5,0699% и более 82,4254%. При стоимости капитала в диапазоне от 5,0699% до 82,4254% его чистая приведенная стоимость, напротив, будет положительной.

Методы решения проблемы множественности IRR

При оценке проекта с неординарным денежным потоком у аналитика возникает дилемма, какое из нескольких значений IRR использовать. Решение при этом не является очевидным. Существует два традиционных подхода для оценки проектов с неординарным денежным потоком, которые позволяют избежать проблему множественности IRR.

  1. Использовать метод чистой приведенной стоимости.
  2. Использовать вместо показателя внутренней нормы доходности показатель модифицированной внутренней нормы доходности (англ. Modified Internal Rate of Return, MIRR).